Всего: 77 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–77
Добавить в вариант
На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
и 
Пусть они пересекаются в точке 
Заметим, что треугольники BCD и CDE равнобедренные с углом 
при вершине, а значит, углы при основании равны 
(они отмечены на рисунке одной дугой). Тогда 
Угол COD равен 108° (так как в треугольнике COD два угла по 36°). Поэтому 
Углы по 72° отмечены на рисунке двумя дугами. Получаем, что треугольники CBO и DEO равнобедренные. Значит, 
Значит, треугольник OBA равнобедренный с углом 60° при вершине, т. е. равносторонний. Поэтому 
Вычислим угол AOE
Получаем, что угол E пятиугольника равен 
Таким образом, мы получаем ответ 
Таким образом, мы получаем ответ 
В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а угол ACB равен 
Окружность Г радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника CMN.
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
откуда 
Отсюда следует, что 
Окружность 
радиуса 
касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника CMN.
через 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Так как угол 
лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он острый. Из треугольника ACH получаем, что 
откуда 
отсюда 
Отсюда следует, что 
Окружность 
радиуса касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC, 
Найдите угол ACB, длины отрезков MK, AB и площадь треугольника BKN.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому 
Рассмотрим треугольник MKB. По теореме косинусов 
Тогда площадь треугольника BKN равна 
Отсюда следует, что 
В восьмиугольнике COMPUTER, изображенном на рисунке, все внутренние углы равны 90°
Внутри отрезков TE и CR отмечены точки A и B соответственно так, что площади частей, на который отрезок AB разбивает восьмиугольник, равны. Найдите разность периметров этих частей.
и отрезок AB делит восьмиугольник на две равновеликие части, причём 
Заметим, что 
а площадь восьмиугольника равна 6, значит, площадь трапеции AERB равна 
С другой стороны, 
Значит, 
В восьмиугольнике COMPUTER, изображенном на рисунке, все внутренние углы равны 90° или 270°, а также
Внутри отрезков TE и CR отмечены точки A и B соответственно так, что площади частей, на который отрезок AB разбивает восьмиугольник, равны. Найдите разность периметров этих частей.
Раскрасим вершины 2018-угольника в два цвета так, чтобы любые две соседние вершины были разного цвета. Если сумма углов при вершинах одного цвета равна сумме углов при вершинах другого цвета, будем называть такой 2018-угольник интересным. В выпуклом 2019-угольнике отметили одну вершину. Оказалось, что при удалении любой неотмеченной вершины остается интересный 2018-угольник. Докажите, что при удалении отмеченной вершины также остается интересный 2018-угольник.
не входит в этот многоугольник, а углы 
и 
надо уменьшить на 
и 
соответственно). Аналогично, поскольку при удалении вершины C получается интересный 2018-угольник, имеем равенство сумм углов 
Следовательно, четырехугольник 
вписанный. Отметим также, что верно и обратное. А именно, если выполняется равенство (*) (т. е. 2018-угольник без вершины B — интересный) и четырехугольник ABCD вписанный, то верно и равенство (**), а значит, 2018-угольник без вершины C — интересный.
—
иррациональна, что противоречит условию.
Значит, треугольники HAP и DER равны (равнобедренные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами), поэтому при симметрии относительно центра PQRS отрезки DE и HA совместятся. Также совместятся отрезки BC и FG. Значит, восьмиугольник центрально симметричен, что и требовалось доказать.
или 
Легко проверяется, что 
Выбирая положительное значение, получаем 
Таким образом, указанный многоугольник существует, это 65-угольник. 
а остальные углы равны между собой. Известно, что AB = 6, CD = 4, EA = 7. Найдите расстояние от точки A до прямой CD.
и 
Искомое расстояние — это высота правильного треугольника со стороной 9 (до которого можно достроить исходный пятиугольник), то есть 
Лешин дачный участок имеет форму девятиугольника, у которого есть три пары равных и параллельных сторон (см. рис.). Леша знает, что площадь треугольника с вершинами в серединах оставшихся сторон девятиугольника равна 12 соток. Помогите ему найти площадь всего дачного участка.
— правильный 
Ответ обоснуйте.
А если приложить вектор 
к концу вектора 
(правило треугольника), то получившийся угол будет равен 
будет и между соседними сторонами правильного 
то получатся две стороны правильного 
(правило многоугольника), то получатся три стороны правильного 
равна вектору 
(см. рис. нижний). Заметим, что: 
например, на угол 
(можно повернуть на угол, кратный 
). При этом вектор 
—
Если 
то вектор 
т. к. они неколлинеарны. Единственный вариант, когда 
это 
сделана попытка построить сумму векторов, но автору решения на удалось доказать, что сумма векторов равна 
(или на кратный ему угол) сумма векторов не изменится, но не обоснованно утверждение, что сумма векторов равна 
— правильный 2017-угольник. O — его центр. Найдите сумму векторов 
Ответ обоснуйте.
А если приложить вектор 
не изменится, а суммарный вектор 
Если 
то вектор